Pergunta: Pagar contas pela internet é seguro?
Resposta: Sim! Basta sempre que você acessar o banco via net apagar o "cache".
Pergunta: Mas o que é cache?
Resposta: O navegador copia vários arquivos do site que você acessou dentro de uma pasta chamada "temporary internet files", isso é para que, da proxima vez que for acessar o site, seu acesso fique mais rápido.
Pergunta: E como limpo o cache?
Resposta: É fácil! Acesse o site do banco que você tem conta, faça tudo que precisa, encerre a seção e logo após vá em ferramentas, opções da internet.



Na aba geral - arquivos de internet temporários clique em excluir arquivos, logo após aparecerá uma janela, clique em "ok".

    

Depois vá para a aba Conteúdo, em informações pessoais clique em Auto Completar.



Na janela que abrir clique em Limpar formulários e depois em Limpar senhas. Dê "ok" nas duas janelas que abrir.



Bom, resumindo tudo: ferramentas > opções da internet > aba geral > arquivos de internet temporários > excluir arquivos > ok.
                     Aba conteúdo > informações pessoais > auto completar > limpar formulários > ok > limpar senhas > ok.

Importante: recomendo que a limpeza de cache seja feita uma vez por mês.

Algumas outras informações por Jefferson:
1° Nada é completamente seguro;
2° Se você tiver problemas com pagamento de contas na internet, pode ter certeza que a "invasão", o erro foi gerado do seu micro;
3° Visto situação 2, mantenha seu computador sempre atualizado e protegido;
4° E por último, uma dica, quando aparecer o painel para digitar senha do banco, mesmo sendo a de segurança, digite a primeira vez errado, se o site recusar, quer dizer que você está acessando o banco de dados do Banco em questão, então você não está enviando seus dados para ninguém ao clicar em OK. Se aceitar, dê um jeito de parar de acessar conteúdo indevido, porque seu computador sabe-se lá há quanto tempo está infectado.

Espero que isso lhes ajudem, Felipe Munhoz.